Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0989 627 405

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2017-2018

30/10/2017 10:57   3     2
Tóm tắt nội dung
Tải về

HOC247 xin giới thiệu đến các bạn học sinh ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2017-2018 Đề thi gồm 5 bài toán tự luận. Đề thi sẽ giúp các bạn rèn luyện, củng cố và nâng cao kiến thức. Các bạn cùng tham khảo nhé!

       SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                     ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI  

         TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU                                          LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2017-2018

                  ĐỀ CHÍNH THỨC                                                           MÔN THI : TOÁN

                                                                                                    Thời gian làm bài : 180 phút

                                                                                                     Ngày thi: 03/10/2017

Bài 1.(4,0 điểm)
       a) Cho các số dương a, b, c thảo mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4\) . Chứng minh

                                           \(\frac{a}{{\sqrt {\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {c + 2} \right)\left( {a + 2} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)} }} \ge 1\)
 
       b) Cho n là số nguyên dương, xét đa thức  \(P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + .... + {a_1}x + {a_0}\)có các hệ số là số thực. Biết rằng \(P\left( 0 \right);P\left( 1 \right);.....;P\left( n \right)\) đều là các số nguyên. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì \(P\left( m \right)\) nhận giá trị là số nguyên.
Bài 2.(3,0 điểm)
Xét phương trình \(\frac{1}{{1\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {x + 2} \right)}} + ..... + \frac{1}{{n\left( {x + n} \right)}} = 1\) ( với n là số nguyên dương)
        a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên luôn có nghiệm  trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) và nghiệm đó duy nhất (kí hiệu là \({x_n}\) )
        b) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)có giới hạn khi \(n \to + \infty \) và tính giới hạn đó.

Bài 3.(5,0 điểm) Cho \(\Delta ABC\)nhọn (AB <AC), nội tiếp đường tròn (O), I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi H và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và I trên cạnh BC. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm E khác A, đường thẳng DE cắt (O) tại F khác E. Hai đường thẳng BC, AF cắt nhau ở K.
        a) Chứng minh \(FI \bot EA\) và bốn điểm A, I, K, H cùng thuộc một nửa đường tròn.
        b) Đường thẳng EH cắt (O) tại L khác E, đường thẳng FL cắt BC ở J. Chứng minh tiếp tuyến của (O) tại điểm F đi qua trung điểm của đoạn JK.

Bài 4.(4,0 điểm)
     a) Kí hiệu \({N^*}\) là tập hợp các số nguyên dương. Có bao nhiêu hàm số \(f:{N^*} \to {N^*}\) thỏa mãn               

\(f\left( 1 \right) = 1;f\left( {n + 2} \right)f\left( n \right) = {f^2}\left( {n + 1} \right) + 1\,\,\forall n \in {N^*}?\)
        b) Tìm tất cả các hàm số \(f:R \to R\) thỏa mãn  \(f\left( {f\left( x \right) + {x^2} + y} \right) = f\left( x \right) + {x^2} + f\left( y \right)\,\,\forall x,y \in R\) 
Bài 5.(4,0 điểm)
        a) Tính số hoán vị \(f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);......;f\left( {2018} \right)\) của các số 1;2;....2018  sao cho biểu thức \(T = 1.f\left( 1 \right) + 2f\left( 2 \right) + .... + 2018f\left( {2018} \right)\)  nhận giá trị là số nguyên lẻ
        b) Trong cuộc thi vấn đáp gồm có m thí sinh và n giám khảo, trong đó m > 1; n > 3 và n không phải là bội của 3. Mỗi giám khảo sẽ đánh giấ từng thí sinh theo ba loại A, B, C. Biết rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho hai giám khảo bất kỳ có đánh giá giống nhau  ứng với k thí sinh. Chứng minh \(k \ge \frac{{m\left( {n - 2} \right)}}{{3n}}\)

 

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy

 


TÀI LIỆU LIÊN QUAN

TÀI LIỆU XEM NHIỀU